Tính chất trực tâm là gì? 5 tính chất cơ bản trong tam giác

Trực tâm tam giác hay trực tâm trong không gian đều là kiến thức hình học cơ bản toán học trung học cơ sở. Vậy GiaiNgo cùng đi tìm hiểu định nghĩa, cách xác định và tính chất trực tâm của tam giác nhé!

Trực tâm là gì?

Trực tâm là gì?

Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao trong một tam giác. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.

• Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó.
• Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông.
• Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Trong ảnh bên dưới, H là trực tâm của tam giác ABC.

Tiếp theo cùng GiaiNgo tìm hiểu cách xác định và tính chất trực tâm của tam giác nhé!

Cách xác định trực tâm của một số dạng hình học

Đối với mỗi loại tam giác sẽ có cách xác định trực tâm khác nhau:

Tam giác nhọn thì trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó. Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

Tam giác vuông thì trực tâm chình là đỉnh góc vuông. Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

Tam giác tù thì trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó. Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.

Tính chất trực tâm

Tính chất trực tâm trong tam giác là tài liệu rất hữu ích mà hôm nay GiaiNgo muốn giới thiệu đến các bạn lớp 7 tham khảo.

• Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm.
• Trực tâm tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó.
• Trong tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
• Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
• Trực tâm nằm ở vùng phía trong 1 tam giác, nếu nó là tam giác nhọn.
• Trực tâm nằm ở vùng ngoài tam giác nếu nó là tam giác tù.
• Theo định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Sau khi hiểu rõ về tính chất trực tâm thì cùng GiaiNgo đến khái niệm đường cao của tam giác nhé!

Khái niệm đường cao của một tam giác

Trong toán học, đường cao của một tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.

• Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao.
• Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao.
• Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Trong mỗi tam giác có ba đường cao tương ứng.

Tính chất đường cao của tam giác

Định lí đường cao của tam giác: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:

• Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy. Đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
• Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến. Đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
• Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến. Đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
• Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
• Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Bài tập liên quan đến tính chất trực tâm

Qua những câu hỏi trên chắc hẳn bạn đã hiểu rõ các khái niệm và tính chất trực tâm của tam giác. Vậy cùng GiaiNgo củng cố kiến thức qua một số bài tập liên quan đến tính chất trực tâm nhé!

Bài 58 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.

Hướng dẫn bài tập 58:

Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:

Trường hợp tam giác vuông:

• Xét tam giác ABC vuông tại A thì BA⊥CA hay A là giao điểm của hai đường vuông góc trong tam giác
• ⇒ A trực tâm của tam giác.
• Vậy trong tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.

Trường hợp tam giác tù:

Giả sử tam giác ABC có góc A tù ⇒ BC là cạnh lớn nhất hay BC>BA.

Từ BB kẻ đường thẳng BK vuông góc với CA. Ta có: KA,KC lần lượt là hình chiếu của BA,BC.

Vì BC>BA nên KC>KA hay K phải nằm ngoài đoạn thẳng AC. Do đó ta có đường cao BK.

Tương tự dựa vào tính chất trực tâm của tam giác với đường cao CP.

Gọi H là giao điểm của BK và CP⇒H chính là trực tâm của tam giác. Ta thấy H ở bên ngoài tam giác.

Vậy trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó.

Bài 59 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Cho hình 57. Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác chứng minh:

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50 độ, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Hướng dẫn bài tập 59:

Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

Bài 60 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Dựa vào tính chất trực tâm của tam giác chứng minh KN ⊥ IM.

Hướng dẫn bài tập 60:

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 61 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Dụa vào tính chất trực tâm:

a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

b) Tương tự, dựa vào tính chất trực tâm. Hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

Hướng dẫn bài tập 61:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB. (Dựa vào tính chất trực tâm)

a) ΔHBC có :

• AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
• BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC.
• CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

b) Tương tự áp dụng tính chất trực tâm tam giác:

• Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao: CF, AC, BC).
• Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao: BE, AB, CB).

Bài 62 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Từ tính chất trực tâm suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều?

Hướng dẫn bài tập 62:

Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:

TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

• BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.
• AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).

TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :

Hy vọng với những kiến thức tổng hợp trên bạn đã hiểu được tính chất trực tâm là gì và cách giải các bài tập liên quan. Nếu thấy hay nhớ like và chia sẻ giúp GiaiNgo nhé!