Hình học trong lĩnh vực Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình dạy học. Trong đó, phải kể đến là hình bình hành. Vậy đâu là tính chất hình bình hành? Những bài toán liên quan đến tính chất hình bình hành sẽ được giải đáp như thế nào? Tất cả sẽ được GiaiNgo trình bày ngay sau đây.
Hình bình hành trong hình học là một hình tứ giác được tạo thành khi hai cặp đường thẳng song song cắt nhau. Nói đơn giản, hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
Nó là một dạng đặc biệt của hình thang. Trong không gian ba chiều, khối tương đương với hình bình hành là hình khối lục diện.
Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành là:
Nếu hình bình hành là một tứ giác đặc biệt:
Nếu hình bình hành là hình thang:
Các tính chất hình bình hành:
Tính chất 1: Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau.
Trong hình bình hành ABCD có các cạnh đối song song bằng nhau là AB và CD, AD và BC.
Tính chất 2: Trong hình bình hành, các góc đối bằng nhau.
Trong hình bình hành ABCD có các góc đối bằng nhau là góc A và góc C, góc B và góc D.
Tính chất 3: Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O. Suy ra, các đường thẳng OA và OC bằng nhau, OB và OD bằng nhau.
Chu vi hình bình hành bằng tổng độ dài bốn cạnh của hình bình hành. Hay nói cách khác, chu vi hình bình hành bằng hai lần tổng một cặp cạnh kề nhau bất kỳ.
Công thức tính chu vi hình bình hành: P = (a + b) x 2
Trong đó: P là chu vi; a, b là độ dài hai cạnh bất kỳ.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh a và b lần lượt là 4cm và 5cm. Hỏi chu vi của hình bình hành ABCD là bao nhiêu?
Cách giải: Áp dụng công thức, ta có: P = (4 + 5) x 2 = 18 (cm). Vậy chu vi hình bình hành ABCD là 18 cm.
Diện tích hình bình hành bằng tích của chiều cao với cạnh đáy tương ứng.
Công thức tính diện tích hình bình hành: S = a.h
Trong đó: S là diện tích hình bình hành; h là chiều cao của hình bình hành và a là độ dài cạnh đáy tương ứng.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có cạnh đáy CD = 8cm, chiều cao nối từ đỉnh A xuống cạnh CD dài 6cm. Hỏi diện tích của hình bình hành ABCD là bao nhiêu?
Cách giải: Áp dụng công thức, ta có: S = 8.6 = 48 (cm²). Vậy diện tích hình bình hành ABCD là 48 cm².
Các câu sau đúng hay sai?
a) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
c) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
d) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
Lời giải:
a) Đúng, vì hình thang có hai đáy song song với có thêm hai cạnh đáy bằng nhau thì sẽ là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết.
b) Đúng, vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (định nghĩa).
c) Sai, vì tứ giác có hai cạnh đối (hai cạnh bên) bằng nhau nhưng không song song nên nó không phải là hình bình hành.
d) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song nên nó không phải là hình bình hành (theo tính chất hình bình hành).
Các tứ giác ABCD, EFGH, MNPQ trên giấy kẻ ô vuông như hình bên dưới có phải là hình bình hành hay không?
Cả ba tứ giác trên đề là hình bình hành vì:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng BE = DF
Ta có: DE = 1/2.AD; BF = 1/2.BC
ABCD là hình bình hành ⇒ AD = BF
=> DE = BF
Tứ giác BEDF có: DE // BF (vì AD // BC) và DE = BF
⇒ BEDF là hình bình hành
⇒ BE = DF
Cho hình bình hành ABCD (AB>BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh rằng DE // BF
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác DEBF có:
DE // BF (chứng minh ở câu a)
BE // DF (vì AB // CD)
⇒ Tứ giác DEBF là hình bình hành.
Cho hình hình bình hành ABCD. AH, CH cùng vuông góc với BD.
a) Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành.
b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng ba điểm A, O, C thẳng hàng.
a) Hai tam giác vuông AHD và CKB có:
AD = CB (giả thiết)
∠D1 = ∠B1 (so le trong)
⇒ ∆AHD = ∆CKB (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ AH = CK
Tứ giác AHCK có AH // CK, AH = CK. Theo tính chất hình bình hành, suy ra AHCK là hình bình hành.
b) Xét hình bình hành AHCK, O là trung điểm của đường chéo hình bình hành. Do đó, ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Tứ giác EFGH là hình bình hành.
Cách 1: EB = EA, FB = FC (giả thiết)
Cho nên, EF là đường trung bình của ∆ABC. Do đó, EF // AC
Tương tự, HG là đường trung bình của ∆ACD. Do đó, HG // AC
⇒ EF // HG (1)
Chứng minh tương tự ⇒ EH // FG (2)
Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Cách 2: EF là đường trung bình của ∆ABC nên EF = 1/2 AC
HG là đường trung bình của ∆ACD nên HG = 1/2 AC
Suy ra, EF = HG
Ta có: EF // HG ( chứng minh trên)
Vậy EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:
a) AI // CK
b) DM = MN = NB
a) Tứ giác ABCD có AB = CD, AD = BC nên là hình bình hành.
Tứ giác AICK có AK // IC, AK = IC nên AICK là hình bình hành.
Do đó, AI // CK
b) ∆DCN có DI = IC, IM // CN
Vì AI // CK nên suy ra DM = MN
Chứng minh tương tự đối với ∆ABM ta có MN = NB.
Vậy DM = MN = NB
Trên đây là những tính chất hình bình hành và các bài tập về cách chứng minh hình bình hành mà GiaiNgo muốn chia sẻ đến các bạn. Chúc các bạn độc giả sẽ có thêm những kiến thức Toán học thú vị và hay ho. Nhớ Like và Share bài viết của chúng tôi nhé!
