Tất cả những kiến thức liên quan đến đường tròn đều là những kiến thức rất quan trọng và cần phải nắm vững. Bài viết này của GiaiNgo sẽ giải đáp thắc mắc của bạn về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì nhé!
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn mà đi qua ba đỉnh của một hình tam giác. Trong trường hợp này, hình tam giác sẽ nội tiếp hình tròn.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn mà có tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của hai hoặc ba đường trung trực của tam giác đó. Hay nói cách khác là giao điểm của các đường trung trực của một tam giác chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Sau khi đã hiểu rõ về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì thì hãy cùng GiaiNgo tìm hiểu về những tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì nhé!
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có những tính chất như sau:
Xem thêm: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Khái niệm Tính chất tứ giác nội tiếp? Các dạng bài tập về tính chất nội tiếp Sự xác định đường tròn – tính chất đối xứng của đường tròn
Xem thêm:
Muốn xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì các bạn phải nhớ rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là giao điểm của hai hoặc ba đường trung trực của tam giác đó.
Có hai cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:
Cách 1:
Bước 1: Viết phương trình của đường trung trực hai cạnh bất kỳ của một tam giác.
Bước 2: Tìm được giao điểm hai đường trung trực. Giao điểm của các đường trung trực chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách 2:
Bước 1: Gọi I (x, y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA = IB = IC = R (trong đó R là bán kính).
Bước 2: Tìm được tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tọa độ tâm I là nghiệm của phương trình:
IA^2=IB^2
IA^2=IC^2
Trong một tam giác ABC nội tiếp đường tròn có các cạnh lần lượt là a,b,c. Chúng ta có công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cho diện tích là S như sau:
R = (a x b x c) / 4S
Trong đó:
R là bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
a,b,c là cạnh của hình tam giác.
S là diện tích tam giác.
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc A như sau:
a,b,c là các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn.
p là chu vi
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc B như sau:
a,b,c là các cạnh của một tam giác.
p là chu vi.
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc C như sau:
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều như sau:
R = a / (2 x sin60 độ)
a là độ dài các cạnh của tam giác đều.
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2); B(6;1); C(-2;5)
Cách giải của dạng này như sau:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp có dạng:
Vì các đỉnh A, B, C cùng nằm trong một đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình như sau:
Vì vậy, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:
Ví dụ: Cho tam giác ABC với các tọa độ lần lượt là A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Cách giải của dạng toán này như sau:
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên:
Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1)
Ví dụ: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Ta có:
Áp dụng công thức Herong ta có:
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:
Bài tập 1: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Trả lời:
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:
PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.
Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng MP
=> ∆MNP vuông tại N, có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.
=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP.
Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB. Ta có AD giao với CE tại O.
Ta có: Tam giác ABC là tam giác đều
=> Đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác và là đường trung trực của tam giác.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
∆ABC có CE là đường trung tuyến
=> CE cũng là đường cao.
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có:
CE2 = AC2 – AE2 = 62 – 32 = 27 => CE =3√3cm.
Ta có: O là trọng tâm của tam giác ABC
=> CO = 2/3 CE = (2/3)3√3 = 2√3cm.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là OC = 2√3cm
Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Gọi I là trung điểm của AH
Ta có HF vuông góc với AF
=> tam giác AFH vuông tại F
I là trung điểm của cạnh huyền AH
=> IA = IF = IH (1)
Lại có HE vuông góc với AE
=> tam giác AEH vuông tại E
=> IA = IE = IH (2)
Từ (1) và (2) ta có IA = IF = IH = IE
Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của AH.
Trên đây là toàn bộ thông tin liên quan đến kiến thức tâm đường tròn nội tiếp tam giác là gì. Hy vọng bài viết này đã giải đáp được những thắc mắc của bạn. Hãy theo dõi GiaiNgo mỗi ngày để biết thêm nhiều thông tin hay và bổ ích nhé!
